特别是近年来，随着庞氏几何理论的出现与快速发展，BSD猜想，ABC猜想，波利尼亚克猜想，霍奇猜想等相继得到解决，数学界需要一个领军人物站出来，为未来的发展指明方向。
作为庞氏几何理论的创造者，庞学林无疑是再合适不过的一个人选。
台下。
德利涅对坐在自己身旁的法尔廷斯道：“法尔廷斯，我有种预感。”
“什么预感？”
“这个年轻人，将来的成就可能会远远超越我的老师，”
法尔廷斯不由得吃了一惊。
当下数学界虽然予以庞学林高度评价，但基本上还是将他与上世纪的格罗滕迪克对等看待。
即使在法尔廷斯眼中，庞学林也是一个年轻版的格罗滕迪克。
“皮埃尔，你为什么会这么说？”
法尔廷斯好奇道。
德利涅扭头看了法尔廷斯一眼，微笑道：“我从他眼中看到了热情和野心，他现在才二十五岁，至少还有二十年的巅峰期，你能想象，二十年内他能做出多少成就吗？就算他彻底统一了代数与几何这两大基础学科，也并不让我感觉到意外。”
庞学林没有理会台下的喧闹声，微微一笑，说道：“我觉得在未来的一百年，以下问题将是我们数学界急需解决的一些难题。第一，岩泽理论的主猜想。”
“数论中，岩泽理论是理想类群的伽罗瓦模理论，是日本数学家岩泽健吉在1950年末期发展起来的一套研究数域（即Q的有限扩张）的Zp扩张的算术性质的理论，最常见的Zp扩张是所谓的分圆Zp扩张。这类域是德国数学家库默尔为证明费马大定理而首先研究的。事实上，如果整数环Z[C?]是唯一分解环，那么在证明费马大定理的征途中就不会遇到那么多的困难。
分圆Zp扩张就是下述分圆域的扩张：
K=Q(CP)C…CKn=Q(C； 1)??CXoo=Q(CP~)，
其中KJK的伽罗瓦群Gn就是循环群对任意aZ/pnZ，aa(CP)=CpV由伽罗瓦理论，K/K的伽罗瓦群G是G?的射影极限，即p进整数环Zp。
……
岩泽主猜想(或称主猜想，即岩泽理论的主要猜想）是说：ch(A)=ch(s/C)。可以看出，A说明的是数域的理想类群，是一个纯粹的代数对象.而分圆单位本质上是一个解析对象。事实上，令((P，s)=C(s).(1-p~s)=∑1/n^s，此函数称为V进C函数，它是上是连续函数，并且其在负整数处的值可以用的一个首一多项式的插值来表示。
P进函数是p进i函数的一个例子，它体现了对应数域的解析性质。
Coates-Wiles和Coleman在明显互反律的工作表明上述多项式和ch(f/C)只是相差一个固定多项式。所以我们知道主猜想是关于分圆域的代数性质和解析性质的深刻联系的猜想.
岩泽理论从诞生一开始就是数论研究的重要工具。在1972年，Mazur建立了椭圆曲线的岩泽理论，并提出了虚二次域上的主猜想.后来人们又提出了许多其他形式的主猜想，包括motive上的主猜想等。p进伽罗瓦表示上的岩泽理论的研究对于p进BSD猜想、Serre猜想等都非常重要.
1983年，Mazur和Wiles使用深刻的代数几何办法证明了岩泽主猜想。利用科利瓦金的欧拉系的办法，Rubin证明了虚二次域上的主猜想，并给出了分圆域主猜想一个新的证明。
而其他形式的主猜想依旧是数论和算术代数几何研究的热点内容。”
……
“第二个问题，霍普夫（HOPF）猜想。”
“整体微分几何的核心问题之一是研究局部不变量和整体不变量的关系，研究曲率和拓扑的关系。
我们来考察曲面S，它上面有度量，也就有Gauss曲率K，如果曲面是紧致无边的话，Gauss曲率K就可以在整个曲面上进行积分。一个曲面不一定只容有一个度量，可以有另外一个度量，换了度量以后，相应的Gauss曲率K也就变了，但积分值与曲面的度量无关，而只与曲面的Euler不性数x(*5)有关。
这就是Gauss-Bon公式所揭示的深刻内涵。
对高维黎曼流形M，Gauss曲率可以推广为截面曲率，它由黎曼曲率张量所决定，被积函数是由曲率张量组成的很复杂的代数式子，称为Gauss-Bon被积函数，它在整个流形上的积分，应该由这个流形的Euler示性数所决定。它的内蕴证明是陈省身得到的，后来就称为Gauss_Bon-陈公式。
对紧致无边的偶数维流形M2“，如果它容有非正截面曲率的黎曼度量，那么，它的Euler示性数满足
(-l)nX(M2n)0 (1)(当截面曲率为负时，上式为严格不等式)。
这就是着名的Hopf猜想。
迄今，Hopf猜想仅在一些附加条件下得到验证，如截面曲率夹在两个负常数间有工作：Bourguignon-KarcherPl，Donnelly-Xavier以及Jost-Xin间。
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